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    錢葉濤老師公開課《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教案》

    作者:      點(diǎn)擊數(shù):

    311數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教案

     

    教學(xué)目標(biāo):

    1.了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性,了解數(shù)系的擴(kuò)充過程。

    2.體會實(shí)際需要與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用,感受人類理性思維的作用及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。

    3.理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件

    教學(xué)重點(diǎn):對引入復(fù)數(shù)的必要性的認(rèn)識,理解復(fù)數(shù)的基本概念。

    教學(xué)難點(diǎn):學(xué)生對了解實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程有困難,對理解復(fù)數(shù)是一對有序?qū)崝?shù)不習(xí)慣,故而對復(fù)數(shù)概念的理解有一定困難。

    授課類型:新授課

    課時(shí)安排:1課時(shí)

     

    教學(xué)基本流程

    一、問題引入:

    1.原始社會的人知道12,34嗎?知道-2 嗎?(讓學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)以下:

    數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的.早在人類社會初期,人們在狩獵、采集果實(shí)等勞動中,由于計(jì)數(shù)的需要,就產(chǎn)生了1,2,3,4等數(shù)以及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N

    隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展,數(shù)的概念也得到發(fā)展

    為了解決測量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問題,人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù);為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要,人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集Q.顯然N Q.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負(fù)整數(shù)集合并在一起,構(gòu)成整數(shù)集Z,則有Z Q、N Z.如果把整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù),那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集

    有些量與量之間的比值,例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果,無法用有理數(shù)表示,為了解決這個(gè)矛盾,人們又引進(jìn)了無理數(shù).所謂無理數(shù),就是無限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起,構(gòu)成實(shí)數(shù)集R.因?yàn)橛欣頂?shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù)),無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù),所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集

    因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充,數(shù)集的每一次擴(kuò)充,對數(shù)學(xué)學(xué)科本身來說,也解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾。

    2. 2x=1有解嗎?(學(xué)生很容易說有解,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到是整數(shù)集中無解,分?jǐn)?shù)集有解

    x2=3有解嗎?(有理數(shù)集中無解,無理數(shù)集中有解

    x2=-1呢?(實(shí)數(shù)集中無解,那么類比一下在什么集中有解呢?)

    二、講解新課:

    問題1.分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾,負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾,無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是,數(shù)集擴(kuò)到實(shí)數(shù)集R以后,但像x2=1這樣的方程還是無解的,因?yàn)闆]有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1.那怎么辦?能否類比一下人們?yōu)榻鉀Qx2=3在有理數(shù)集無解,而創(chuàng)設(shè)了符號 ,并令 的平方為3,且無理數(shù) 和以前的有理數(shù)仍然自如的加減乘除這一思想,來定義一個(gè)新的符號使其平方為-1呢?(停頓,讓學(xué)生思考。。。)

    人們引入了一個(gè)新數(shù) ,讓 的平方為-1。

    板書:令    

     那么平方為-4的數(shù)是什么呢?(2 ),新數(shù) 很好的解決了平方為負(fù)數(shù)的方程解的問題。

    問題2. 依上述思想新數(shù) 應(yīng)能自如地和實(shí)數(shù)進(jìn)行加、乘運(yùn)算,

    1)實(shí)數(shù)a和新數(shù) 相加我們記作a+i,

    2)實(shí)數(shù)b和新數(shù) 相乘我們記作b

    3)實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和新數(shù) 相乘的結(jié)果相加我們記作a+bi

      那么你發(fā)現(xiàn)上述三個(gè)結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)加另一實(shí)數(shù)倍的 的形式,即 嗎?

    問題3.由此我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)集范圍得到了擴(kuò)大,實(shí)數(shù)集被擴(kuò)充到一個(gè)新數(shù)集C,那么新數(shù)集C如何描述呢?(引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、確認(rèn))

    給出結(jié)果:C=a+b a, R

    引入概念:(1C叫做復(fù)數(shù)集。

    2 叫做虛數(shù)單位。

    3)復(fù)數(shù)z= 是復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式,其中a叫做實(shí)部,b叫做虛部。

    4)虛部不為0叫做虛數(shù),實(shí)部為0且虛部不為0的復(fù)數(shù)叫做純虛數(shù),虛部為0的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).

              

    規(guī)定:兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是兩復(fù)數(shù)的實(shí)部對應(yīng)相等,虛部對應(yīng)相等。

    即如果ab,c,dR,那么a+bi=c+di       a=cb=d

    思考:復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系呢?

    結(jié)果:(1)實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集。

         2)復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系:N Z Q R C

    三、例題講解:

    例題1:復(fù)數(shù)-2i+3.14的實(shí)部和虛部是什么?(答:實(shí)部是3.14,虛部是-2.

     

    例題2:實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)z=m+1+(m1)i:

    (1)實(shí)數(shù)?  (2)虛數(shù)?  (3)純虛數(shù)?

    [分析]因?yàn)?/SPAN>mR,所以m+1m1都是實(shí)數(shù),可由復(fù)數(shù)z=a+bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值.

    解:(1)當(dāng)m1=0,即m=1時(shí),復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù);

    (2)當(dāng)m10,即m1時(shí),復(fù)數(shù)z是虛數(shù);

    (3)當(dāng)m+1=0,且m10時(shí),即m=1時(shí),復(fù)數(shù)z 是純虛數(shù).

     

    例題3

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