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3．1．1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教案

 

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程。

2.體會實(shí)際需要與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。

3.理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件

教學(xué)重點(diǎn)：對引入復(fù)數(shù)的必要性的認(rèn)識，理解復(fù)數(shù)的基本概念。

教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)生對了解實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程有困難，對理解復(fù)數(shù)是一對有序?qū)崝?shù)不習(xí)慣，故而對復(fù)數(shù)概念的理解有一定困難。

授課類型：新授課

課時(shí)安排：1課時(shí)

 

教學(xué)基本流程：

一、問題引入：

1.原始社會的人知道1，2，3，4嗎？知道-2， 嗎？（讓學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)以下：）

數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的.早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實(shí)等勞動中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2，3，4等數(shù)以及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N

隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也得到發(fā)展

為了解決測量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集Q.顯然N Q.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負(fù)整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有Z Q、N Z.如果把整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集

有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個(gè)矛盾，人們又引進(jìn)了無理數(shù).所謂無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集R.因?yàn)橛欣頂?shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集

因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對數(shù)學(xué)學(xué)科本身來說，也解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾。

2. 2x=1有解嗎？（學(xué)生很容易說有解，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到是整數(shù)集中無解，分?jǐn)?shù)集有解）

x²=3有解嗎？（有理數(shù)集中無解，無理數(shù)集中有解）

x²=-1呢？（實(shí)數(shù)集中無解，那么類比一下在什么集中有解呢？）

二、講解新課：

問題1.分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴(kuò)到實(shí)數(shù)集R以后，但像x²=－1這樣的方程還是無解的，因?yàn)闆]有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于－1.那怎么辦？能否類比一下人們?yōu)榻鉀Qx²=3在有理數(shù)集無解，而創(chuàng)設(shè)了符號 ，并令 的平方為3，且無理數(shù) 和以前的有理數(shù)仍然自如的加減乘除這一思想，來定義一個(gè)新的符號使其平方為-1呢？（停頓，讓學(xué)生思考。。。）

人們引入了一個(gè)新數(shù) ，讓 的平方為-1。

板書：令    

 那么平方為-4的數(shù)是什么呢？（2 ），新數(shù) 很好的解決了平方為負(fù)數(shù)的方程解的問題。

問題2. 依上述思想新數(shù) 應(yīng)能自如地和實(shí)數(shù)進(jìn)行加、乘運(yùn)算，

（1）實(shí)數(shù)a和新數(shù) 相加我們記作a+i，

（2）實(shí)數(shù)b和新數(shù) 相乘我們記作b

（3）實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和新數(shù) 相乘的結(jié)果相加我們記作a+bi

  那么你發(fā)現(xiàn)上述三個(gè)結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)加另一實(shí)數(shù)倍的 的形式，即 嗎？

問題3.由此我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)集范圍得到了擴(kuò)大，實(shí)數(shù)集被擴(kuò)充到一個(gè)新數(shù)集C,那么新數(shù)集C如何描述呢？（引導(dǎo)學(xué)生思考、交流、確認(rèn)）

給出結(jié)果：C=｛a+b ︳a, ∈R｝

引入概念：（1）C叫做復(fù)數(shù)集。

（2） 叫做虛數(shù)單位。

（3）復(fù)數(shù)z= 是復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，其中a叫做實(shí)部，b叫做虛部。

（4）虛部不為0叫做虛數(shù)，實(shí)部為0且虛部不為0的復(fù)數(shù)叫做純虛數(shù)，虛部為0的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).

          

規(guī)定：兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是兩復(fù)數(shù)的實(shí)部對應(yīng)相等，虛部對應(yīng)相等。

即如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di       a=c，b=d

思考：復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系呢？

結(jié)果：（1）實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集。

     （2）復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N Z Q R C

三、例題講解：

例題1：復(fù)數(shù)－2i+3.14的實(shí)部和虛部是什么？（答：實(shí)部是3.14，虛部是－2.）

 

例題2：實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是:

(1)實(shí)數(shù)？  (2)虛數(shù)？  (3)純虛數(shù)？

［分析］因?yàn)?/SPAN>m∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù)，可由復(fù)數(shù)z=a+bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值.

解：(1)當(dāng)m－1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)m－1≠0，即m≠1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；

(3)當(dāng)m+1=0，且m－1≠0時(shí)，即m=－1時(shí)，復(fù)數(shù)z 是純虛數(shù).

 

例題3